במטוס יש 100 מקומות. הנוסע הראשון שנכנס שכח את מספר המושב שלו, ולפיכך התיישב באקראי באחד המושבים. אחריו מתחילים לעלות יתר הנוסעים, אחד-אחד. כל נוסע שהמושב שלו פנוי כשהוא עולה למטוס, מתיישב במושב שלו; אחרת, הוא בוחר מושב אחר באקראי.

אתם האחרונים שעולים למטוס. מהי ההסתברות שהמושב, אשר אמור היה להיות שמור עבורכם, אכן פנוי?

(הערה: בשאלה זו, המשמעות של "מושב שנבחר באקראי" היא שלכל המושבים הפנויים באותו הרגע הסתברות שווה להיבחר).

הפתרון לחידה - מתחת לתמונה. 

צילום: דודו בכר

נמספר את המושבים לפי סדר עליית הנוסעים למטוס: מושב 1 הוא מושבו הנכון של המבולבל שהתחיל את המהומה, ואילו 100 הוא המושב שלכם. נשים לב לכך שברגע שמישהו מתיישב במושב 1, הדבר שם קץ לבלבול - מאותו רגע והלאה, כל אחד יתיישב במושב שלו.

הסיבה לכך היא שבכל רגע נתון, יש לכל היותר אדם אחד שטרם התיישב במטוס, ושמישהו תפס לו את המושב. עד שהאיש הזה ייכנס למטוס בעצמו, כל שאר הנכנסים למטוס כבר יישבו במקומות החוקיים שלהם. כאשר זה שתפסו לו את המקום ייכנס - או שהוא יתיישב במושב של מישהו שטרם נכנס למטוס, או שהוא יתיישב במושב מס' 1, ולכן - לכל שאר הנכנסים לא תהיה בעיה עם המושבים שלהם.

אם כן, התשובה לחידה שלנו זהה לזו של השאלה: "מה ההסתברות שמושב 1 ייתפס לפני שמושב 100 ייתפס?" (כי אם מושב 100 נתפס לפני מושב 1, בוודאי שהוא לא יהיה פנוי עבורכם; אבל אם מושב 1 נתפס לפני מושב 100 - זה מבטיח שאף אחד לא יתפוס לכם את מושב 100).

כיוון שעבור נוסע שבוחר מושב באקראי אין הבדל בין מושב 1 ובין מושב 100, ההסתברויות שלהם להיבחר בכל שלב זהות - הם למעשה סימטריים האחד ביחס לשני. מכאן, שההסתברות עבור אחד מהם להיבחר לפני השני היא חצי, ולכן ההסתברות שמושב 100 יהיה פנוי כשאתם עולים למטוס היא חצי.

(למי שנימוק הסימטריה מפריע לו, אפשר גם לבצע חישוב ישיר, אשר מוביל לאותה התוצאה. לחובבי הנוסחאות שביניכם - ניתן למצוא הסבר נוסף כאן).  

תגובות

הזינו שם שיוצג באתר
משלוח תגובה מהווה הסכמה לתנאי השימוש של אתר הארץ